如何學好數學-小學老師教我正確方式 | 郭譽申

我大學念數學系,後來出國攻讀電腦科學博士學位。電腦科學大約有一半跟數學很像,雖然處理的問題不同;另一半則像工程,要開發出實際的硬體或軟體。我的長期電腦科學研究(尤其在40多歲之前)大多屬於前者,因此我可算是一輩子靠數學吃飯。不過我考大學時,數學成績卻並不突出,也沒能進入台、清、交等頂尖大學。考試成績與研究表現為何差異很大?

如何學好數學?首先當然是,讀懂課本裡的定義、公理、定理、公式等等,這些是數學的知識;更重要的,要學習「解題」,即運用數學知識,解答數學問題。能解題,才表示你真正了解定義、定理等等數學知識,並且能運用數學知識,去解決各領域(如電腦)的問題。

解題是數學的核心,因此數學考試就是,給學生一些數學問題,測驗學生能夠解答多少問題,能解答愈多問題的學生成績就愈好。而學生想要數學成績好,顯然有兩種方式:

[研習法]研習和記憶過去考試的大量試題及其答案,只要未來考試的試題不跳脫出過去考試的題庫,就能獲得好成績。

[思考法]多去思考和求解一些自己還不知道答案的數學問題,從思考和求解的過程中,磨練出思考和解題的能力。

這兩種方法當然可以混用,而每個學生可能偏重不同。哪個方法能讓學生的考試表現較好?多半是[研習法]。當試題跳脫出過去考試的題庫,[思考法]是較有利的,但是這類試題幾乎必定是極少數,因為過去的題庫已經很豐富。一般而言,[研習法]是比較有效率的,採用[思考法]去思考和求解一個未知答案的問題,很容易就花掉幾十分鐘,而幾十分鐘足以研習和記憶好幾個過去的試題及其答案。換言之,採用[研習法]的學生腦中記憶的問題及其答案遠比採用[思考法]的學生多,當這些問題出現在考卷上,前者立刻能夠得分,而後者未必能及時想出來(考試都有限時)。

就準備考試而言,[研習法]一般優於[思考法]。然而[思考法]更能磨練出思考和解題的能力,才真正符合數學的目標,即運用數學知識,去解決各領域尚無滿意答案的問題。

由於[研習法]更利於數學考試,台灣學生大多採用[研習法]學習數學,筆者是少數的例外,因為我從小就以思考和求解數學問題為樂,自然採用[思考法]。這使我在數學考試上並不突出,但是卻磨練出很好的思考和解題能力,後來在做很像數學的電腦科學研究時,因此表現不錯,還頗順利。這類的研究有時幾個星期都毫無進展(數學創意本就不容易),若不能以思考和求解為樂,是堅持不下去的。

我樂於思考和求解數學問題,主要是拜小學老師陶英娥所賜。在陶老師的數學課,她有時會在黑板上出兩三個數學問題,要學生們各自在紙上解題,她當場檢視是否正確,若全部正確,學生就可以離開教室,在教室外玩耍,到快下課時,她才對教室裡剩下的學生講解問題的答案。陶老師這樣教導及獎勵學生思考和求解數學問題,使我從小就樂於思考和解題,並且一生受益。多年後,陶老師是我唯一記得的小學老師。

[思考法]較有益於學生的數學能力,但[研習法]更有利於學生的考試表現,要如何取捨,是數學教育的難處。

數學系學什麼?跟資訊科技有啥關係? | 郭譽申

大學裡,數學系是較冷門的科系,資訊系則很熱門,但兩者有些關聯。不只一次,有高中生或其家長問我,想學資訊科技,但是資訊系入學門檻較高,是否可以先唸數學系,未來再轉學資訊科技?本文回答這個問題。

首先要說數學系學什麼。中學生就學不少數學,大學理工科系還要學一些數學,那數學系學的數學有何不同?簡單說,中學和大學的非數學系多半在學數學知識和解決數學問題的方法,不強調這些方法背後的原理;數學系則要學這些背後的原理,為何解題方法能解決數學問題?推導並「證明」這解題方法確能解決數學問題

「證明」是什麼?「證明」是從已知一步一步詳盡推導到結論的過程。而數學體系就是從「定義」、「公理」這些已知,逐步地推導證明出各種的結論,被稱為「定理」。因為「證明」有嚴格的邏輯推理,數學是絕對真理;「定義」、「公理」有可能不符合真實世界;若「定義」、「公理」符合真實世界,則真實世界必然呈現「定理」的結論。

中學生的數學有學一點點「證明」,大學的數學系幾乎全在學「證明」,這是很大的不同。若您是高中生,喜歡並且搞得懂高中數學裡的那些證明,您很適合唸數學系;反之,您唸數學系就會很辛苦。數學系與一般理工科系很不同,後者需要做實驗,數學系幾乎不做實驗,完全專注在邏輯推理的思考。

資訊科技大致分成硬體和軟體兩部份,教硬體技術的是電機系、電子系等;教軟體技術的則是資訊科系,而軟體技術主要是電腦程式的開發。

電腦程式由很多電腦指令組成,撰寫電腦程式有點像寫文章,但是需要每一步驟都非常精確以達成期待的結果。撰寫電腦程式也有些像推導證明數學定理,每一步驟都含有邏輯和運算,最後產生期待的結果。因此唸數學系,擅長數學證明,是有助於程式開發的。

程式要對不同的輸入都能產生期待的輸出結果。但是各種可能的輸入數量非常大,不可能全部進行測試實驗,那如何能保證程式對各種輸入都能產生期待的輸出結果?除了多進行測試實驗,厲害的程式設計師能夠大致「證明」其程式產生期待的輸出結果,就像數家證明數學定理一樣。

以上說明程式與數學證明的相似部份,兩者的不同在於數學證明較抽象(是其難處),而程式很具體,常包含很多細節;此外,數學證明幾乎不做實驗,而程式需要大量測試實驗,因此程式開發需要細心和耐心

以上說的是數學的本質,有些數學系(或許名為應用數學系)除了數學課程,也有一些程式課程,使其學生主修數學證明,而副修程式開發。這類的數學系當然有助於學生未來轉學資訊科技(要數學、程式兩者兼顧,學生難免比較辛苦)。